20-6-5 Метод характеристик
Задача 20-6-5-1. Уравнение неразрывности, преобразованное с помощью уравнения движения, приведено в форме Какие виды движения газа могут исследоваться с помощью этого уравнения?
Задача 20-6-5-2. Покажите, что если изменяется энтропия или энтальпия торможения в потоке газа при переходе от одной линии тока к другой, то такой поток является вихревым.
Задача 20-6-5-3. Выразите математически тот факт, что энтропия частицы газа, движение которой наблюдаем, остается при этом движении постоянной, если не учитывать внутреннее трение и перенос теплоты вследствие теплопроводности, т. е. если термически процесс изэнтропический.
Задача 20-6-5-4. Вдоль линии тока энтальпия торможения i0 = i +V2/2, определяющая полную энергию единицы массы газа, не изменяется. Покажите, что при этом выполняется также условие постоянства энтропии.
Задача 20-6-5-5. Содержание задачи Коши заключается в отыскании в окрестности начальной кривой решения дифференциального уравнения для потенциала, удовлетворяющего заданным на этой кривой некоторым дополнительным условиям. Назовите эти условия.
Задача 20-6-5-6. При решении задачи Коши об отыскании искомого потенциала можно ограничиться определением вторых производных на заданной кривой, уравнение которой в общем виде F(х, у) = 0. Для этого необходимо решить следующую систему из трех уравнений:
При каком условии неизвестные производные определяются однозначно?
Задача 20-6-5-7. Известно, что если главный определитель системы уравнений (5.3), то эта система имеет конечные, хотя и неоднозначные, решения только тогда, когда остальные три частных определителя Ац, А8, Д4 равны нулю. Покажите это на примере решения алгебраической системы уравнений
Ox + Oy + Oz = 0; 2x + 2y + Oz = 0; -x + 5y + z = 3
Задача 20-6-5-8. Из задачи Коши известно, что конечные, хотя и неоднозначные, решения искомой функции ф в окрестности некоторой начальной кривой существуют, если в системе главный определитель А = 0. Геометрически это означает, что начальная кривая совпадает с особой кривой - характеристикой, представляемой уравнением называемым характеристическим. На основе анализа системы уравнений укажите дополнительное условие, которое должно быть выполнено, чтобы имелись указанные решения.
Задача 20-6-5-9. Решение квадратного характеристического уравнения относительно производной dy/dx имеет вид. В чем заключается геометрический смысл этого решения?
Задача 20-6-5-10. Что понимают в методе характеристик под условиями совместности и каков геометрический смысл этих условий?
Задача 20-6-5-11. В чем заключается отличительная особенность характеристик от других кривых, проведенных в потоке (физической плоскости х, y)?
Задача 20-6-5-12. В заданной точке потока вектор скорости наклонен к оси Ox под углом 40°. Определите направление характеристик, проходящих через эту точку, если число М = 2.
Задача 20-6-5-13. Покажите, что характеристическое уравнение в физической плоскости по внешней форме одинаково для двумерного плоского и пространственного осесимметричного течений газа.
Задача 20-6-5-14. В некоторой точке потока с помощью теневой фотографии найдены углы наклона волн возмущения (линий Маха), равные 18 и - 12° (рис. 5.1). Определите направление вектора скорости и число М в этой точке.
Задача 20-6-5-15. В двух точках сверхзвуковых потоков - холодном и горячем (показатели адиабаты газа в этих потоках соответственно k1> k2) - относительные скорости одинаковы. Сравните углы наклона характеристик в этих точках.
Рис. 5.1 Линии Маха в газовом потоке
Задача 20-6-5-16. Определите углы наклона характеристик в заданной точке потока, если составляющие скорости в этой точке Vх = 320, Vy = 150 м/с, а скорость звука а = 280 м/с.
Задача 20-6-5-17. В физической плоскости характеристики первого и второго семейств наклонены соответственно под углами 45 и 13°. Определите направление сопряженных характеристик в плоскости годографа (вектора скорости).
Задача 20-6-5-18. Как изменяется давление торможения р02 с увеличением энтропии газа (dS/dn > 0) при переходе от одной линии тока к другой?
Задача 20-6-5-19. Укажите область сверхзвукового течения около заостренного профиля с криволинейной стенкой, которая рассчитывается методом характеристик с учетом вихревого влияния (рис. 5.2).
Рис. 5.2. Схема скачков уплотнения перед профилем: 1 - головной скачок уплотнения; 2-падающая волна - характеристика первого семейства; 3 - отраженная волна - характеристика второго семейства; 4 - криволинейный участок скачка уплотнения
Задача 20-6-5-20. Уравнение для характеристик в плоскости годографа для плоского сверхзвукового потока имеет вид. Каков физический смысл этого угла?
Задача 20-6-5-21. В заданном сечении сверхзвуковой струи число М1 = 5 (точка А на рис. 5.3). Определите угол отклонения b струи от этого сечения при ее расширении до состояния, характеризующегося числом М2 = 10 (в точке В). Течение изоэнтропическое, показатель адиабаты газа k = 1,4.
Рис. 5.3. Отклонение сверхзвукового потока
Скачать решение задачи 20-6-5-21 (цена 50р)
Задача 20-6-5-22. Отклонение сверхзвукового потока от начального состояния в точке С (рис. 5.4), характеризуемого числом М1 = 3, Определяется углом 10°. Найдите число М2 точке О отклонившегося потока для k = 1,4 и определите, происходит ли указанное отклонение потока со сжатием или с расширением.
Рис 5.4. Схема для расчета числа М по углу отклонения газового потока
Задача 20-6-5-23. Сверхзвуковой поток в некотором сечении струи газа (k = 1,4) характеризуется числом М2 = 10. На сколько отличается от предельного значения wmax угол отклонения этого потока, отсчитываемый от начального состояния течения с числом М1=1?
Задача 20-6-5-24. Найдите предельное отклонение потока, необходимое для получения максимальной скорости, если угол этого отклонения отсчитывается от направления потока, в котором число М = 5 (k = 1,4).
Скачать решение задачи 20-6-5-24 (цена 50р)
Задача 20-6-5-25. Поток газа в некотором сечении струи характеризуется следующими параметрами: М1 = 3,2, P1 = 1,2*104 Па, р1 = 0,2001 кг/м3, Т1 = 209 К. Определите соответствующие значения этих параметров, а также скорость V2 при изоэнтропическом течении газа с постоянными теплоемкостями (k = 1,4) и отклонении струи на угол 13°.
Скачать решение задачи 20-6-5-25 (цена 50р)
Задача 20-6-5-26. Газовая струя с числом Ма = 2,3 и давлением Pа = 5,6*104 Па на срезе сверхзвукового сопла истекает в неподвижную среду с давлением Pн = 1,1*104 Па. Определите угол поворота струи (k = 1,4).
Скачать решение задачи 20-6-5-26 (цена 50р)
Задача 20-6-5-27. Покажите, что если в плоском потенциальном (сверхзвуковом) потоке одна из характеристик какого-либо семейства прямая, то и все другие характеристики этого семейства также прямые.
Задача 20-6-5-28. На рис. 5.5 показано расположение сопряженных характеристик в физической плоскости х, у (рис. 5.5, а) и в плоскости годографа (рис. 5.5, б, б) Рассмотрите виды сверхзвуковых течений, для которых имеется такое расположение характеристик.
Рис. 5.5. Сопряженные характеристики в физической плоскости годографа (б, в) плоскости (а) и в
Задача 20-6-5-29. На рис. 5.6 показаны схемы обтекания плоским сверхзвуковым поток м двух одинаковых поверхностей. На одной из этих схем характеристики имеют вид прямых линий, а на другой они - криволинейные. Чем можно объяснить это различие?
Рис. 5.6. Характеристики на профилях: а - в виде прямых линий; б - криволинейные
Задача 20-6-5-30. В двух точках А и В с координатами ХА = 10 и уА = 10, хВ = 12 и ув = 8 известны скорости плоского (или пространственного осесимметричного) сверхзвукового газового потока VА = 800, VВ = 820 м/с и их направления, определяемые соответственно углами bА = 30°, bВ = 32° (рис. 5.7). Найдите скорость (число М) и угол отклонения потока в точке С на пересечении характеристик разных семейств, выходящих из точек А и В, при условии, что течение изоэнтропическое, скорость невозмущенного потока V= 750 м/с, температура Т= 288 К, k = 1,4.
Рис. 5.7. Скорость на пересечении двух характеристик
Задача 20-6-5-31. По условиям задачи 5.30 рассчитайте скорость (число М) в точке С на пересечении характеристик разных семейств, проведенных из точек А и В, при условии, что течение неизоэнтропическое. Изменение энтропии в точках А к В задано через уменьшение давления торможения (р02А = 0,8 р0 в точке A; ро2B = 0,77 р0 в точке В; р0 - давление торможения при изэнтропическом сжатии).
Задача 20-6-5-32. Определите скорость на поверхности тела вращения в месте пересечения характеристики второго семейства, проведенной из близко расположенной к поверхности точки D (рис. 5.8). Условия задачи следующие: скорость набегающего потока V= 750 м/с; температура T = 288 К; k = 1,4; давление торможения на поверхности р02 = 0,77*р0. Для точки это давление р020 = 0,8*р0, а скорость в ней VD = 800 м/с. Уравнение образующей в окрестности точки О: уm = 1 хm= 10. Координаты этой точки хD = 5; yD = 0,8, а угол наклона вектора скорости в ней bD = 5°. Сравните найденную скорость (число М) в точке В с соответствующим ее значением, полученным без учета влияния вихревого характера течения.
Рис. 5.8, Схема для расчета скорости на пересечения характеристики со стенкой
Задача 20-6-5-33. На прямолинейный скачок уплотнения с углом bС = 30° падают в точках S и Н рядом расположенные волны разрежения [характеристики 1 семейства {рис. 5.9)]. Вычислите скорость за скачком на участке SН и определите соответствующее изменение угла наклона скачка. В точке Р с координатой ур = 10, находящейся на пересечении характеристик второго семейства SF и первого семейства FН(xH - zF = 0,5), скорость V = 950 м/с, угол отклонения потока b = 11°; скорость набегающего потока V = 1020 м/с; температура Т = 288 К; k =1,4.
Рис. 5.9. Скорость на характеристике и скачке уплотнения: 1, 2 - характеристики первого и второго семейств
Задача 20-6-5-34. Найдите параметры воздуха (давление P0 и плотность р0) в форкамере сверхзвуковой аэродинамической трубы с открытой рабочей частью; определите площадь критического сечения и выберите форму криволинейного контура сопла, обеспечивающего получение на выходе параллельного сверхзвукового потока с числом М = 3 и давлением 105 Па. Квадратное сечение сопла на выходе имеет площадь S = 0,16 м2, температура воздуха в форкамере Т0 = 290 К.